النهايات و الاتصال
صفحة 1 من اصل 1
النهايات و الاتصال
النهايات و الاتصال
تذكير
سوف نذكر ببعض المفاهيم .
fدالة عددية لمتغير حقيقي.
تذكير
سوف نذكر ببعض المفاهيم .
fدالة عددية لمتغير حقيقي.
- كتابة
الكتابة limx→x0f(x)=lتعود الىlimh→0f(x0+h)=l - نهايات مثلثية هامة
limx→0sinxx=1 limx→0tanxx=1 limx→01−cosxx2=12 - الاتصال
- fدالة معرفة على مجال مفتوح مركزهa
تكونfمتصلة فيaاذا و فقط اذا كانlimx→af(x)=f(a) - fدالة معرفة على المجال[a,b]
- تكونfمتصلة على]a,b[ اذا و فقط اذا كانت متصلة في كل نقطة من]a,b[.
- تكونfمتصلة على[a,b]اذا و فقط اذا كانت متصلة على]a,b[ ومتصلة على اليمين فيaو على اليسار فيb.
اتصال بعض الدوال
- دالة حدودية متصلة على IR
- دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها
- x↦cosxمتصلة على IR
- x↦sinxمتصلة على IR
- x↦tanxمتصلة على كل مجال منℝ\\{π2+kπ/k∈ℤ}
التمديدبالاتصال
fدالةغير معرفة في a
اذا كانتlimx→af(x)منتهية فانfقابلة للتمديد بالاتصال فيaوتمديدها هو الدالةgالمعرفة بما يلي:{g(x)=f(x);(x≠a)g(a)=limx→af(x)
fدالةغير معرفة في a
اذا كانتlimx→af(x)منتهية فانfقابلة للتمديد بالاتصال فيaوتمديدها هو الدالةgالمعرفة بما يلي:{g(x)=f(x);(x≠a)g(a)=limx→af(x)
النهايات و الترتيب
- fوgدالتان معرفتان على مجالIمن IR.
اذا كان لكلxمنIلدينا(f(x)≤g(x))f(x)≥g(x) و(limx→ag(x)=−∞)limx→ag(x)=+∞ فان(limx→af(x)=−∞)limx→af(x)=+∞ - fوuوvثلاث دوال معرفة على مجالI
اذا كان لكلxمنIلديناu(x)≤f(x)≤v(x)وlimx→au(x)=limx→av(x)=lفانlimx→af(x)=l - تمرين تطبيقي نعتبر الدالةf:x↦4x2+1−x
- اثبت ان4x2+1≥2xلكلxمنℝ+ ثم استنتج انf(x)≥xلكلxمنℝ+
- استنتجlimx→+∞f(x)
aعدد حقيقي او(l∈ℝ),+∞,−∞,
ما رأيك الان في بعض التمارين لترسيخ هذه المعلومات
- احسبlimx→0sinxtanxx3
ارشاد : ∼0:sinxtanxx3=sinx|x|tanxx - احسبlimx→11+x2−2x−1
ارشاد: استعمل المرافق - نعتبر الدالةfالمعرفة بما يلي{f(x)=x+1x3−1(∀x∈]−∞,12])f(x)=12x+b(∀x〉12)(b∈ℝ)
حدد قيمةbكي تكونfمتصلة في12
ارشاد:حل المعادلةlimx→12+f(x)=f(12) - اعط تمديدا بالاتصال في 1 للدالةf:x↦2x5−5x+3x−1
اعط تمديدا بالاتصال فيπ2للدالةf:x↦1−sinx(π2−x)2
ارشاد:*2x5−5x+3=(x−1)(2x4+2x3+2x2+2x−3)*limx→π2f(x)=limh→0f(π2+h)
للتذكير
البداية
نهاية مركبة دالة تقبل نهاية و دالة متصلة
fدالة معرفة على مجال مفتوح منقطIمركزهaوgدالة معرفة على مجالJبحيثf(I)⊂J
اذا كانت الدالةfتقبل النهاية l فيaو كانت الدالةgمتصلة في l فانlimx→agοf(x)=g(l)
ملاحظة:ما سبق ذكره يظل صالحا بجوارa+,a−,−∞,+∞ مع تعويضIبمجال مناسب.
مثال:احسبlimx→1tan(x2−1)
جواب: بما انlimx→1x2−1=0 و الدالةx↦tanx متصلة في 0 فانlimx→1tan(x2−1)=tan(0)=0
البداية
صورة مجال بدالةمتصلة
صورة مجال من IR بدالة متصلة هو مجال من IR
البداية
اتصال مركبة دالتين
- ليكنaعنصرا منI.
اذ كانتfمتصلة فيaو كانتgمتصلة فيf(a) فانgοf تكون متصلة فيa - اذا كانتfمتصلة علىIوgمتصلة علىJفانgοf تكون متصلة علىI
f دالة معرفة على مجالIوgدالة معرفة على مجالJبحيثf(I)⊂J
تمرين تطبيقي:
نعتبر الدالةh:x↦x2+2x+2|x+1|3+1
نعتبر الدالةh:x↦x2+2x+2|x+1|3+1
- حدد حيز تعريف الدالةh
- نعتبر الدالتينf:x↦|x+1| وg:x↦x2+1x3+1
- حدد حيز تعريف كل من الدلتينfوg
- تأكد انh(x)=(gοf)(x)لكلxمن IR
انشئ منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم(O,i→,j→)
تأكد مبيانيا انf(ℝ)⊂]−1,+∞[
ادرس اتصال الدالةh
- اذا كانتfدالة متصلة على مجال[a,b]من IR وKعدد حقيقي محصور بينf(a),f(b)فانه يوجدعلى الاقل عدد حقيقي c من[a,b]حيثf(c)=k
- نتائج
- اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال[a,b] من IR فانه لكل عدد حقيقي محصور بينf(a),f(b)المعادلةf(x)=kتقبل حلا وحيدا في المجال[a,b]
- اذا كانتfدالة متصلة على المجال[a,b]وf(a)×f(b)〈0فان المعادلةf(x)=0تقبل حلا على الاقل في[a,b]
تمرين تطبيقي
fدالة معرفة على المجالI=[−3,6] بf(x)=x3−12x
fدالة معرفة على المجالI=[−3,6] بf(x)=x3−12x
احسبf'(x)لكلxمنIثم ضع جدول تغيرات الدالةf
لماذا المعادلةf(x)=30 لها حلول في المجالI
كم لهذه العادلة من حل فيI
- f−1 تكون متصلة علىf(I)
- f−1 لها نفس منحى تغيراتf
- Cf,Cf−1متماثلان بالنسبة للمنصف الاول
- (∀x∈I):(f−1οf)(x)=x
- (∀x∈f(I)):(fοf−1)(x)=x
- ∀x∈I∀y∈f(I)f(x)=y⇔x=f−1(y)
اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجالIمن IR فانها تكون تقابلا منIنحو المجالf(I) و تقبل دالة عكسيةf−1 معرفة منf(I) نحوIو :
تمرين تطبيقي
نعتبر الدالة المعرفة على المجالI=]−1,1[بما يلي :f(x)=2x1−x2
بين انfتقابل منIنحو IR
حدد التقابل العكسيf−1
انشئ المنحنيينCf−1,Cf في نفس المعلم
ارشاد:
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم
الدالةx↦xn تقابل منℝ+ نحوℝ+ وتقبل دالة عكسيةf−1 منℝ+ نحوℝ+ بحيث∀x∈ℝ+f−1(x)=xn
نتائج
- الدالةx↦xn متصلة و تزايدية قطعا علىℝ+
- xnn=(xn)n=x
- xn=yn⇔x=yxn〈yn⇔x〈y
- (xn)p=xpn
- xpnp=xn
- xpn=xnp
- xn×yn=x×yn
- (y〉0)xnyn=xyn
- limx→+∞xn=+∞
(x,y)∈ℝ+2(p,n)∈ℕ*2
النهاية و الاتصال
- اذا كانتfدالة متصلة وموجبة على مجالIمن IR فان الدالةx↦f(x)n متصلة على المجالI
- اذا كان(l≥0)limx→x0f(x)=l فانlimx→x0f(x)n=ln
- اذا كانlimx→x0f(x)=+∞ فانlimx→x0f(x)n=+∞
القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
ليكنaعددا حقيقيا موجبا قطعا و(p,q)∈ℤ*×ℕ* لديناapq=apq
(a∈ℝ+*)a0=1تمرين تطبيقي
ليكنaعددا حقيقيا موجبا قطعا و(p,q)∈ℤ*×ℕ* لديناapq=apq
(a∈ℝ+*)a0=1تمرين تطبيقي
- احسبlimx→1x+73−2x−1
- احسبlimx→+∞x3+x+13−x
دالة قوس الظل
الدالةx↦tanxمتصلة و تزايدية قطعا على المجال]−π2,π2[اي تقابل من]−π2,π2[ نحو IR لان(limx→−π2+tanx=−∞;limx→π2−tanx=+∞) وبالتالي فانها تقبل دالة عكسيةf−1 معرفة من IR نحو]−π2,π2[ بحيث(∀x∈ℝ)f−1(x)=Arctanx
نتائج
- الدالةx↦Artanxمتصلة و تزايدية قطعا على IR
- (∀x∈ℝ):tan(Arctan(x))=x
- (∀x∈]−π2,π2[):Arctan(tan(x))=x
- ∀(x,y)∈ℝ2Arctanx=Arctany⇔x=y∀(x,y)∈ℝ2Arctanx〈Arctany⇔x〈y
- limx→+∞Arctanx=π2limx→−∞Arctanx=−π2
- limx→0Arctanxx=1
- (∀x∈ℝ):Arctan(−x)=−Arctanx
ـمرين تطبيقي
- حدد مجموعة تعريف الدالةf
- حددlimx→+∞f(x);limx→2+f(x)
نعتبر الدالةx↦Arctan3x+1x−2
مواضيع مماثلة
» النهايات و الاتصال
» الاتصال في نقطة الاتصال على اليمين الاتصال على السار
» تمارين في الاتصال و حلول
» تمارين في الاتصال و حلول
» الاتصال في نقطة الاتصال على اليمين الاتصال على السار
» تمارين في الاتصال و حلول
» تمارين في الاتصال و حلول
صفحة 1 من اصل 1
صلاحيات هذا المنتدى:
لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى