النهايات و الاتصال

من طرف **nordnet** الخميس 1 نوفمبر - 12:16

، ثانويتي على الأنترنيت

$النهايات و الاتصال Logpr$

النهايات و الاتصال

تذكير

سوف نذكر $النهايات و الاتصال Rev$ ببعض المفاهيم .

fدالة عددية لمتغير حقيقي.

كتابة
الكتابة lim⁡x→x0f(x)=lتعود الىlim⁡h→0f(x0+h)=l
نهايات مثلثية هامة
lim⁡x→0sin⁡xx=1 lim⁡x→0tan⁡xx=1 lim⁡x→01−cos⁡xx2=12
الاتصال
- fدالة معرفة على مجال مفتوح مركزهa
  تكونfمتصلة فيaاذا و فقط اذا كانlim⁡x→af(x)=f(a)
- fدالة معرفة على المجال[a,b]
  1. تكونfمتصلة على]a,b[ اذا و فقط اذا كانت متصلة في كل نقطة من]a,b[.
  2. تكونfمتصلة على[a,b]اذا و فقط اذا كانت متصلة على]a,b[ ومتصلة على اليمين فيaو على اليسار فيb.

اتصال بعض الدوال

دالة حدودية متصلة على IR
دالة جذرية متصلة على كل مجال من مجموعة تعريفها
x↦cos⁡xمتصلة على IR
x↦sin⁡xمتصلة على IR
x↦tan⁡xمتصلة على كل مجال منℝ\{π2+kπ/k∈ℤ}

التمديدبالاتصال
fدالةغير معرفة في a
اذا كانتlim⁡x→af(x)منتهية فانfقابلة للتمديد بالاتصال فيaوتمديدها هو الدالةgالمعرفة بما يلي:{g(x)=f(x);(x≠a)g(a)=lim⁡x→af(x)

النهايات و الترتيب

fوgدالتان معرفتان على مجالIمن IR.
اذا كان لكلxمنIلدينا(f(x)≤g(x))f(x)≥g(x) و(lim⁡x→ag(x)=−∞)lim⁡x→ag(x)=+∞ فان(lim⁡x→af(x)=−∞)lim⁡x→af(x)=+∞
fوuوvثلاث دوال معرفة على مجالI
اذا كان لكلxمنIلديناu(x)≤f(x)≤v(x)وlim⁡x→au(x)=lim⁡x→av(x)=lفانlim⁡x→af(x)=l
تمرين تطبيقي نعتبر الدالةf:x↦4x2+1−x
1. اثبت ان4x2+1≥2xلكلxمنℝ+ ثم استنتج انf(x)≥xلكلxمنℝ+
2. استنتجlim⁡x→+∞f(x)

ما رأيك الان في بعض التمارين لترسيخ هذه المعلومات $النهايات و الاتصال Exe$

للتذكير

احسبlim⁡x→0sin⁡xtan⁡xx3

ارشاد : ∼0:sin⁡xtan⁡xx3=sin⁡x|x|tan⁡xx
احسبlim⁡x→11+x2−2x−1

ارشاد: استعمل المرافق
نعتبر الدالةfالمعرفة بما يلي{f(x)=x+1x3−1(∀x∈]−∞,12])f(x)=12x+b(∀x〉12)(b∈ℝ)
حدد قيمةbكي تكونfمتصلة في12

ارشاد:حل المعادلةlim⁡x→12+f(x)=f(12)
اعط تمديدا بالاتصال في 1 للدالةf:x↦2x5−5x+3x−1
اعط تمديدا بالاتصال فيπ2للدالةf:x↦1−sin⁡x(π2−x)2

ارشاد:*2x5−5x+3=(x−1)(2x4+2x3+2x2+2x−3)*lim⁡x→π2f(x)=lim⁡h→0f(π2+h)

البداية

نهاية مركبة دالة تقبل نهاية و دالة متصلة

fدالة معرفة على مجال مفتوح منقطIمركزهaوgدالة معرفة على مجالJبحيثf(I)⊂J
اذا كانت الدالةfتقبل النهاية l فيaو كانت الدالةgمتصلة في l فانlim⁡x→agοf(x)=g(l)
ملاحظة:ما سبق ذكره يظل صالحا بجوارa+,a−,−∞,+∞ مع تعويضIبمجال مناسب. مثال:احسبlim⁡x→1tan⁡(x2−1)

جواب: بما انlim⁡x→1x2−1=0 و الدالةx↦tan⁡x متصلة في 0 فانlim⁡x→1tan⁡(x2−1)=tan⁡(0)=0
البداية

صورة مجال بدالةمتصلة

صورة مجال من IR بدالة متصلة هو مجال من IR
البداية

اتصال مركبة دالتين

ليكنaعنصرا منI.
اذ كانتfمتصلة فيaو كانتgمتصلة فيf(a) فانgοf تكون متصلة فيa
اذا كانتfمتصلة علىIوgمتصلة علىJفانgοf تكون متصلة علىI

تمرين تطبيقي: $النهايات و الاتصال Exe$
نعتبر الدالةh:x↦x2+2x+2|x+1|3+1

حدد حيز تعريف الدالةh
نعتبر الدالتينf:x↦|x+1| وg:x↦x2+1x3+1
1. حدد حيز تعريف كل من الدلتينfوg
2. تأكد انh(x)=(gοf)(x)لكلxمن IR
انشئ منحنى الدالةfفي معلم متعامد ممنظم(O,i→,j→)
تأكد مبيانيا انf(ℝ)⊂]−1,+∞[
ادرس اتصال الدالةh

ارشاد: لا تنتظر ذلك فالجواب داخل الاسئلة $النهايات و الاتصال Ref$
$النهايات و الاتصال Absolu$

البداية

مبرهنة القيم الوسيطية

اذا كانتfدالة متصلة على مجال[a,b]من IR وKعدد حقيقي محصور بينf(a),f(b)فانه يوجدعلى الاقل عدد حقيقي c من[a,b]حيثf(c)=k

$النهايات و الاتصال Valinter$
1. اذا كانتfدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال[a,b] من IR فانه لكل عدد حقيقي محصور بينf(a),f(b)المعادلةf(x)=kتقبل حلا وحيدا في المجال[a,b]
2. اذا كانتfدالة متصلة على المجال[a,b]وf(a)×f(b)〈0فان المعادلةf(x)=0تقبل حلا على الاقل في[a,b]
1. احسبf'(x)لكلxمنIثم ضع جدول تغيرات الدالةf
2. لماذا المعادلةf(x)=30 لها حلول في المجالI
3. كم لهذه العادلة من حل فيI

البداية

الدالة العكسية لدالة متصلة و رتيبة قطعا على مجال

f−1 تكون متصلة علىf(I)
f−1 لها نفس منحى تغيراتf
Cf,Cf−1متماثلان بالنسبة للمنصف الاول
1. (∀x∈I):(f−1οf)(x)=x
2. (∀x∈f(I)):(fοf−1)(x)=x
3. ∀x∈I∀y∈f(I)f(x)=y⇔x=f−1(y)
تمرين تطبيقي
1. بين انfتقابل منIنحو IR
2. حدد التقابل العكسيf−1
3. انشئ المنحنيينCf−1,Cf في نفس المعلم
ارشاد:

البداية

تطبيقات

دالة الجذر من الرتبة n

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم
الدالةx↦xn تقابل منℝ+ نحوℝ+ وتقبل دالة عكسيةf−1 منℝ+ نحوℝ+ بحيث∀x∈ℝ+f−1(x)=xn

$النهايات و الاتصال Racine$
نتائج

الدالةx↦xn متصلة و تزايدية قطعا علىℝ+
xnn=(xn)n=x
xn=yn⇔x=yxn〈yn⇔x〈y
(xn)p=xpn
xpnp=xn
xpn=xnp
xn×yn=x×yn
(y〉0)xnyn=xyn
lim⁡x→+∞xn=+∞

النهاية و الاتصال

اذا كانتfدالة متصلة وموجبة على مجالIمن IR فان الدالةx↦f(x)n متصلة على المجالI
اذا كان(l≥0)lim⁡x→x0f(x)=l فانlim⁡x→x0f(x)n=ln
اذا كانlim⁡x→x0f(x)=+∞ فانlim⁡x→x0f(x)n=+∞

القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا
ليكنaعددا حقيقيا موجبا قطعا و(p,q)∈ℤ*×ℕ* لديناapq=apq
(a∈ℝ+*)a0=1تمرين تطبيقي

احسبlim⁡x→1x+73−2x−1
احسبlim⁡x→+∞x3+x+13−x

دالة قوس الظل

الدالةx↦tan⁡xمتصلة و تزايدية قطعا على المجال]−π2,π2[اي تقابل من]−π2,π2[ نحو IR لان(lim⁡x→−π2+tan⁡x=−∞;lim⁡x→π2−tan⁡x=+∞) وبالتالي فانها تقبل دالة عكسيةf−1 معرفة من IR نحو]−π2,π2[ بحيث(∀x∈ℝ)f−1(x)=Arctan⁡x

$النهايات و الاتصال Arctan$ نتائج