الامتحان الوطني 2006

التمرين الأول (نقطتان )

حل المعادلة التفاضلية : y"−6y'+9y=0
نعتبر المعادلة التفاضلية التالية : (E):y"−6y'+9y=2e3x

بين أن الدالة u المعرفة على ℝ بما يلي : u(x)=x2e3x هي حل خاص للمعادلة (E)
اعط الحل الخاص للمعادلة (E).

جواب
التمرين الثاني (اربع نقط)

نعتبر في مجموعة الاعداد العقدية ℂ المعادلة : z2−23(1+i)z+8i=0
نرمز ب z1 و z2 لحلي هذه المعادلة بحيث ℜe(z1)≻ℜe(z2)

حدد z1 و z2 ( لاحظ أن (1−i)2=−2i )

بين أن : z12=4(3+i) و z2=iz1¯
اكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي 4(3+i)
استنتج الشكل المثلثي لكل من العددين z1 و z2

نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u→,v→)النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي z1 و z2. احسب arg⁡(z2z1) ثم استنتج أن المثلث OAB متساوي أضلاع.
جواب
التمرين الثالث (اربع نثط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ِ(O,i→,j→,k→) النقطة A(1;−1;3) و المستوى (P) الذي معادلته : x−y+3z=0

تحقق من أن : {x=ty=−tz=3t(t∈ℝ) تمثيل بارامتري للمستقيم (OA)
حدد معادلة ديكارتية للمستوى (Q) العمودي على المستقيم (OA) في النقطة A.
تحقق من أن (P) يوازي المستوى (Q)

نعتبر الفلكة (S) المماسة للمستوى (Q) في النقطة A و التي يقطعها المستوى (P) وفق الدائرة Γ التي مركزها O و شعاعها 33 .

بين أن Ω(a,b,c) مركز الفلكة (S) ينتمي إلى (OA) ثم استنتج أن b=−a و c=3a
بين أن ΩA2−ΩO2=33 ثم استنتج أن a−b+3c=−11.
استنتج إحداثيات Ω مركز الفلكة (S) ثم بين أن شعاعها يساوي 211

جواب
مسألة (10 نقط)

نعتبر الدالة g المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : g(x)=ln⁡(1+x)−x

احسب g'(x) لكل x من [0,+∞[ ثم بين أن الدالة g تناقصية قطعا على [0,+∞[
استنتج أن : g(x)≤0 لكل x من [0,+∞[

بين أن 0≺ln⁡(1+x)≺x لكل x من [0,+∞[

نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة بما يلي : f(x)=x+ln⁡(x+1x−1) و (C) هو المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i→,j→) ( الوحدة 1cm ).

بين أن حيز تعريف الدالة f هو : D=]−∞,−1[∪]1,+∞[ .

بين أن f دالة فردية.
احسب lim⁡x→+∞f(x) و lim⁡x→1+f(x)

بين أن : ∀x∈D:f'(x)=x2−3x2−1.
استنتج تغيرات الدالة f على المجال ]1,+∞[

تحقق من أن المستقيم (Δ) الذي معادلته y=x مقارب مائل للمنحنى (C) .
ادرس إشارة ln⁡(x+1x−1)( يمكن ملاحظة أن : ∀x∈D+1x−1=1+2x−1).
استنتج الوضع النسبي للمنحنى (C) و المستقيم (Δ)

أنشئ (C) في المعلم (O,i→,j→)( نأخذ 3≃1,7 و f(3)≃3)

بين أن : ∫24ln⁡(x+1x−1)dx=5ln⁡5−6ln⁡3 ( يمكن استعمال مكاملة بالأجزاء ).
استنتج ب cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و المستقيمات التي معادلاتها على التوالي : x=2 و x=4 و y=x